\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
% realna in kompleksna stevila
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\CC{\mathbb{C}}
% povdarjene matematicne crke
\def\bfm#1{{\dimen0=.01em\dimen1=.009em\makebold{$#1$}}}

\def\makebold#1{\mathord{\setbox0=\hbox{#1}
       \copy0\kern-\wd0
       \raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       \kern\dimen0\box0}}

\begin{document}
{\bf Naloga}: Kroglico spustimo z vi"sje to"cke v ni"zjo tako,
da se giblje po krivulji brez trenja. Poi"s"cite ena"cbo tiste
krivulje, po kateri opravi pot najhitreje. Problem je znan tudi 
kot {\sl Problem brahistohrone} in ga je v tej obliki leta 1696 zastavil 
Jacob Bernoulli.
\vspace{0.5cm}

\noindent {\bf Re"sitev}: Lahko predpostavimo, da je za"cetna to"cka
$\bfm{T}_1(0,0)$ in kon"cna $\bfm{T}_2(b,B)$, $B<0$. "Cas, ki ga 
potrebuje kroglica za potovanje, je 
$$
  t_{12}=\int_{\bfm{T}_1}^{\bfm{T}_2}\frac{ds}{v},
$$
kjer je $ds$ element lo"cne dol"zine in $v$ hitrost kroglice na krivulji.
Zaradi zakona o ohranitvi energije mora veljati
$$
  \frac{1}{2}m\,v^2=m\,g\,(-y).
$$
Predznak pri $y$ je negativen, ker je kroglica vseskozi pod abscisno osjo.
Tako dobimo
$$v=\sqrt{2g\,(-y)}$$
ter
$$
  t_{12}=\int_{\bfm{T}_1}^{\bfm{T}_2}
  \frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2g\,(-y)}}dx, \quad y'=\frac{dy}{dx}.
$$
Poiskati je potrebno torej funkcijo $y$ tako, da bo "cas minimalen.
Gre za klasi"cni problem iz variacijskega ra"cuna. Funkcional, katerega
minimum i"s"cemo je
$$
  f(x,y,y')=\sqrt\frac{1+y'^2}{-2g\,y}.
$$
Ker ni odvisen od $x$, lahko Euler-Lagrangeovo ena"cbo poenostavimo v
$$
  f(x,y,y')-y'\frac{\partial{f}}{\partial{y'}}(x,y,y')=
  k_1,
$$
oziroma
$$
  \sqrt\frac{1+y'^2}{-2g\,y}-y'
  \frac{y'}{\sqrt{-2g\,y}\sqrt{1+y'^2}}
  =k_1.
$$
Tako dobimo
\begin{equation}
   \label{eq:dif_koncna}
  -y(1+y'^2)=k^2,
\end{equation}
kjer smo s $k$ ozna"cili novo konstanto $k=1/\sqrt{2g\,k_1^2}$.
Dobljeno diferencialno ena"cbo re"sujemo z nastavkom
$y=-k^2\,\sin^2{t}$. Iz (\ref{eq:dif_koncna}) tako dobimo
$$
  \left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-\frac{k^2}{y}-1=
  \left(\frac{\cos{t}}{\sin{t}}\right)^2.
$$
Ker moramo pri korenjenju izbrati negativni predznak (saj je za majhne 
$t$ funkcija $y$ gotovo padajo"ca), dobimo
\begin{equation}
  \label{eq:dydx}
  \frac{dy}{dx}=-\frac{\cos{t}}{\sin{t}}.
\end{equation}
Iz zveze
$$
  dx=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dt}dt,
$$
z upo"stevanjem nastavka za $y$ ter relacije
(\ref{eq:dydx}) pridemo do
$$
  dx=2k^2\,\sin^2{t}\,dt,
$$
oziroma
$$
  x=k^2\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)+C.
$$
Toda $x(0)=0$, saj smo tako izbrali za"cetno to"cko $\bfm{T}_1$,
torej je $C=0$.\\
Z uvedbo nove spremenljivke $\theta=2t$ ena"cbe malce poenostavimo
\begin{eqnarray*}
    x(\theta)&=&\frac{1}{2}k^2\left(\theta-\sin{\theta}\right),\\
    y(\theta)&=&-\frac{1}{2}k^2\left(1-\cos{\theta}\right).
\end{eqnarray*}
Dobili smo ena"cbo za cikloido.\\
Dolo"citi moramo "se konstanto $k$. Zadostiti moramo namre"c "se robnima
pogojema,ki dolo"cata, skozi kateri to"cki gre krivulja.
Ker je $x(0)=y(0)=0$, je prvemu pogoju "ze zado"s"ceno,
drugi pa se glasi
\begin{eqnarray*}
  x(\theta)&=&\frac{1}{2}k^2\left(\theta-\sin{\theta}\right)=b,\\
  y(\theta)&=&-\frac{1}{2}k^2\left(1-\cos{\theta}\right)=B.
\end{eqnarray*}
"Ce ena"cbi delimo in poenostavimo, dobimo ena"cbo za $\theta$
$$
  g(\theta)=1-\cos{\theta}+\frac{B}{b}\left(\theta-\sin{\theta}\right)=0.
$$
Funkcija $g$ ima trivialno re"sitev $\theta=0$, vendar nas ta ne zanima.
Ker je $g(0)=g'(0)=0$ in $g''(0)=1>0$, ima $g$ v to"cki $\theta=0$
lokalni minimum z vrednostjo $0$. 
Po drugi strani je $g(2\pi)=2\pi\frac{B}{b}<0$,
zato ima $g$ vsaj eno ni"clo $\theta^*$ na $[0,2\pi]$.
V splo"snem jo lahko poi"s"cemo le numeri"cno.
Konstanto $k$ sedaj izra"cunamo iz zveze
$$
  k=\sqrt{\frac{2b}{\theta^*-\sin{\theta^*}}}.
$$
S tem je krivulja natan"cno dolo"cena (seveda v parametri"cni obliki).
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{brahi.fig}
  \caption{Slika brahistohrone med to"ckama $\bfm{T}_1(1,1)$ in
   $\bfm{T}_2(3,0)$.}
  \label{fig:brahi}
\end{figure}

\end{document}