Naloga: Kroglico spustimo z višje točke v nižjo tako, da se giblje po krivulji brez trenja. Poiščite enačbo tiste krivulje, po kateri opravi pot najhitreje. Problem je znan tudi kot Problem brahistohrone in ga je v tej obliki leta 1696 zastavil Jacob Bernoulli.

Rešitev: Lahko predpostavimo, da je začetna točka T T T T T T T T T_{1}(0, 0) in končna T T T T T T T T T_{2}(b, B), B < 0. Čas, ki ga potrebuje kroglica za potovanje, je

t_{12} = ∫\begin{matrix}T T T T T T T T T & 2 \\ T T T T T T T T T & 1 \end{matrix} \frac{ds}{v},

kjer je ds element ločne dolžine in v hitrost kroglice na krivulji. Zaradi zakona o ohranitvi energije mora veljati

\frac{1}{2}m v^{2} = m g (−y).

Predznak pri y je negativen, ker je kroglica vseskozi pod abscisno osjo. Tako dobimo

v = \sqrt{2g (−y)}

ter

t_{12} = ∫\begin{matrix}T T T T T T T T T & 2 \\ T T T T T T T T T & 1 \end{matrix} \begin{matrix}√ & \overline{1 + y^{′2}} \\ √ & \overline{2g (−y)} \end{matrix}dx, y′ = \frac{dy}{dx}.

Poiskati je potrebno torej funkcijo y tako, da bo čas minimalen. Gre za klasični problem iz variacijskega računa. Funkcional, katerega minimum iščemo je

f(x, y, y′) = \sqrt{\frac{1 + y^{′2}}{−2g y}} .

Ker ni odvisen od x, lahko Euler-Lagrangeovo enačbo poenostavimo v

f(x, y, y′) − y′ \frac{∂f}{∂y′} (x, y, y′) = k_{1},

oziroma

\sqrt{\frac{1 + y^{′2}}{−2g y}} − y′ \frac{y′}{\sqrt{−2g y}\sqrt{1 + y^{′2}}} = k_{1}.

Tako dobimo

−y(1 + y^{′2}) = k^{2},  (1)

kjer smo s k označili novo konstanto k = 1/\sqrt{2g k_{1}^{2}}. Dobljeno diferencialno enačbo rešujemo z nastavkom y = −k^{2} sin^{2} t. Iz (1) tako dobimo

(\frac{dy}{dx})^{2} = −\frac{k^{2}}{y} − 1 = (\frac{cos t}{sin t})^{2} .

Ker moramo pri korenjenju izbrati negativni predznak (saj je za majhne t funkcija y gotovo padajoča), dobimo

\frac{dy}{dx} = −\frac{cos t}{sin t}.  (2)

Iz zveze

dx = \frac{dx}{dy} \frac{dy}{dt} dt,

z upoštevanjem nastavka za y ter relacije (2) pridemo do

dx = 2k^{2} sin^{2} t dt,

oziroma

x = k^{2} (t − \frac{sin 2t}{2}) + C.

Toda x(0) = 0, saj smo tako izbrali začetno točko T T T T T T T T T_{1}, torej je C = 0. Z uvedbo nove spremenljivke θ = 2t enačbe malce poenostavimo

x(θ) = \frac{1}{2}k^{2} (θ − sin θ) ,
y(θ) = −\frac{1}{2}k^{2} (1 − cos θ) .

Dobili smo enačbo za cikloido. Določiti moramo še konstanto k. Zadostiti moramo namreč še robnima pogojema,ki določata, skozi kateri točki gre krivulja. Ker je x(0) = y(0) = 0, je prvemu pogoju že zadoščeno, drugi pa se glasi

x(θ) = \frac{1}{2}k^{2} (θ − sin θ) = b,
y(θ) = −\frac{1}{2}k^{2} (1 − cos θ) = B.

Če enačbi delimo in poenostavimo, dobimo enačbo za θ

g(θ) = 1 − cos θ + \frac{B}{b} (θ − sin θ) = 0.

Funkcija g ima trivialno rešitev θ = 0, vendar nas ta ne zanima. Ker je g(0) = g′(0) = 0 in g′′(0) = 1 > 0, ima g v točki θ = 0 lokalni minimum z vrednostjo 0. Po drugi strani je g(2π) = 2π \frac{B}{b} < 0, zato ima g vsaj eno ničlo θ^{∗} na [0, 2π]. V splošnem jo lahko poiščemo le numerično. Konstanto k sedaj izračunamo iz zveze

k = \sqrt{\frac{2b}{θ^{∗} − sin θ^{∗}}} .

S tem je krivulja natančno določena (seveda v parametrični obliki).

Slika 1: Slika brahistohrone med točkama T T T T T T T T T_{1}(1, 1) in T T T T T T T T T_{2}(3, 0).