\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[slovene]{babel}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large UVOD V NUMERI"CNE METODE\\
    IZPIT\\
    7.2.2003}
\end{center}

\begin{enumerate}

  \item Poznate predpis za odvedljivo funkcijo $y=f(x)$. 
  Napi"site algoritem,
  ki za dano vrednost $y$ izra"cuna vrednost inverzne
  funkcije $x=f^{-1}(y)$ s tangentno metodo.
  S tem algoritmom poi"s"cite pribli"zka $x_1$ in $x_2$ v primeru,
  ko je $f(x)=x^3$, $y=7$ ter za"cetni pribli"zek $x_0=2$. 
  Pribli"zka zapi"site na $4$ decimalna mesta natan"cno.

  \item Kolik"sen je lahko najve"c odvod zvezno odvedljive
  funkcije $f$ na 
  intervalu $[x_0,x_0+h]$, da bo
  $$\left|\int_{x_0}^{x_0+h}f(x)\,dx-h\,f(x_0+h/2)\right|<0.01?$$
  Pomagajte si s Peanovim jedrom $K_0$.
  
  \item Pri katerih realnih "stevilih $\alpha$ za matriko 
  $$A=\pmatrix{1 & 2 & 3 & 4 \cr
               2 & 5 & 8 & 11\cr
               3 & 8 &14 &20 \cr
               4 &11&20&\alpha}
  $$
 obstaja razcep Choleskega. V primeru, da obstaja, poi"s"cite
 zgornje trikotno matriko $R$, da velja $A=R^T R$.
 

  \item Diferencialno ena"cbo 
    $$y'(x)=-\lambda\,y(x),\quad y(0)=y_0=1,\ \lambda>0,
    $$
    re"sujete na intervalu $[0,b]$, $b>0$, z eksplicitno 
   Eulerjevo metodo.
    Vemo, da to"cna re"sitev na tem intervalu pada proti 0.
    Kolik"sen je lahko korak $h$ pri tej metodi, da bo tudi numeri"cna
    re"sitev padala proti 0?
  
   \noindent {\sl Namig: Izrazite $y_n$ z $\lambda$ in $y_0$.}
\end{enumerate}
\end{document} 
