UVOD V NUMERIČNE METODE IZPIT 7.2.2003

1. Poznate predpis za odvedljivo funkcijo y = f(x). Napišite algoritem, ki za dano vrednost y izračuna vrednost inverzne funkcije x = f^{−1}(y) s tangentno metodo. S tem algoritmom poiščite približka x_{1} in x_{2} v primeru, ko je f(x) = x^{3}, y = 7 ter začetni približek x_{0} = 2. Približka zapišite na 4 decimalna mesta natančno.

2. Kolikšen je lahko največ odvod zvezno odvedljive funkcije f na intervalu [x_{0}, x_{0} + h], da bo

|∫_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(x) dx − h f(x_{0} + h/2)| < 0.01?

Pomagajte si s Peanovim jedrom K_{0}.

3. Pri katerih realnih številih α za matriko

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 11 \\ 3 & 8 & 14 & 20 \\ 4 & 11 & 20 & α \end{matrix} )

obstaja razcep Choleskega. V primeru, da obstaja, poiščite zgornje trikotno matriko R, da velja A = R^{T} R.

4. Diferencialno enačbo

y′(x) = −λ y(x), y(0) = y_{0} = 1, λ > 0,

rešujete na intervalu [0, b], b > 0, z eksplicitno Eulerjevo metodo. Vemo, da točna rešitev na tem intervalu pada proti 0. Kolikšen je lahko korak h pri tej metodi, da bo tudi numerična rešitev padala proti 0?

Namig: Izrazite y_{n} z λ in y_{0}.