\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{amsfonts,graphicx}
% Mno"zice realnih, naravnih in kompleksnih "stevil
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}

\newtheorem{definicija}{Definicija}
\newtheorem{primer}{Primer}
% Odebeljene "crke v math na"cinu 
% (povezto po L.L. Schumaker - makro
% za St. Malo Proceedings
\def\bfm#1{{\dimen0=.01em\dimen1=.009em\makebold{$#1$}}}

\def\makebold#1{\mathord{\setbox0=\hbox{#1}%
       \copy0\kern-\wd0%
       \raise\dimen1\copy0\kern-\wd0%
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0%
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0%
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0%
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0%
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0%
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0%
       \kern\dimen0\box0}}


\begin{document}
{\bf Naloga}: Re"sevanje robnega problema s kon"cnimi diferencami.\\
Do problema re"sevanja sistema linearnih ena"cb pridemo
tudi npr. pri re\-"se\-van\-ju robnega problema drugega 
reda z metodo
kon"cnih diferenc. Vzemimo najpreprostej"si primer:\\
Re"sujemo
\begin{equation}
  \label{problem}
  y''(x)=f(x),\quad y(a)=y_a,\ y(b)=y_b.
\end{equation}
Dolo"citi "zelimo torej funkcijo $y$, katere drugi odvod je enak 
$f$, $y$ pa zado"s"ca t.i. robnima 
pogojema $y(a)=y_a$ in $y(b)=y_b$.
V splo"snem takega problema ne znamo re"siti, saj funkcije $f$ 
morda ne znamo dvakrat integrirati. Zato nam ponavadi preostane 
le "se numeri"cno re"sevanje. Kaj pomeni numeri"cno re"siti
problem (\ref{problem})? Ni"c drugega, kot na intervalu $[a,b]$
poiskati numeri"cne pribli"zke $y_i\approx y(x_i)$, 
$i=1,2,\dots n+1$, pri "cemer je 
$a=:x_1<x_2<\cdots<x_n<x_{n+1}:=b$. Ve"c kot je izbranih to"ck
$x_i$, bolj natan"cen opis funkcije $y$ s pribli"zki $y_i$
pri"cakujemo.
Zaradi enostavnosti ponavadi predpostavimo, da je 
$x_{i+1}-x_i=:h$ za vse $i$. Druga"ce povedano, to"cke
$x_i$ naj bodo ekvidistantne. Da bi lahko re"sevali problem
(\ref{problem}), moramo najprej aproksimirati $y''(x_i)$.
To naredimo s t.i. drugimi diferencami 
$$y''(x_i)=\frac{y(x_{i-1})-2y(x_i)+y(x_{i+1})}{h^2}+{\rm napaka}=
\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}+{\rm napaka}.
$$
Torej mora veljati ("ce zanemarimo napako, ki je sorazmerna s 
$h^2$)
$$y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}=h^2f(x_i),\quad i=1,2,\dots,n.$$
Ker morata biti ozpolnjena robna pogoja, sta prva in zadnja ena"cba
malce druga"cni, namre"c
\begin{eqnarray*}
  -2y_1+y_2&=&h^2f(x_1)-y_a\\
   y_{n-1}-2y_n&=&h^2f(x_n)-y_b.
\end{eqnarray*}
Tako dobimo sistem ena"cb 
\begin{equation}
  \label{sistem}
  A\bfm{y}=\bfm{b},
\end{equation}
kjer je
$$
A=\left[
  \begin{array}{ccccccc}
     -2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
      1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
      0 &  1 & -2 & 1  & \cdots & 0 & 0\\
      \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
      0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -2
  \end{array}
  \right],
$$
$$\bfm{b}=[h^2f(x_1)-y_a,h^2f(x_2)\dots h^2f(x_{n-1}),
h^2f(x_n)-y_b]^T
$$
in $\bfm{y}=[y_1,\dots,y_m]^T$ vektor neznanih pribli"zkov.\\
Sistem (\ref{sistem}) je tridiagonalen, zato ga v primeru, ko
je delilnih to"ck $x_i$ zelo veliko (torej, ko je $n$ velik),
re"sujemo tako, da ne predstavimo cele matrike $A$, pa"c pa le 
njene tri glavne diagonale.

\begin{primer}
  Re"sujemo robni problem
$$y''(x)=e^{-x}-\sin{x},\quad y(-1)=1.8768,\ y(1)=1.2093.
$$
Na sliki \ref{slika1} je narisana analiti"cna re"sitev (zvezdice)
 ter
numeri"cna re"sitev (polna "crta) pri $n=5$.
Na sliki \ref{slika2} pa napaka pri $n=5$ (zvezdice),
$n=10$ (krogci) in $n=100$ (plusi). 
Analiti"cna re"sitev
problema je 
$$y(x)=\exp(-x)+\sin(x).$$

\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm,height=10cm]{graf1.eps}
  \end{center}
  \caption{Graf to"cne re"sitve (*) in numeri"cne re"sitve
  za $n=5$ (-).}
  \label{slika1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=12cm,height=12cm]{graf2.eps}
  \end{center}
  \caption{Grafi napak pri $n=5$ (zvezdice), $n=10$ (kro"zci) in
   $n=100$ (plusi).}
  \label{slika2}
\end{figure}
\end{primer}






\end{document}
