\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
% realna in kompleksna stevila
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\CC{\mathbb{C}}
% povdarjene matematicne crke
\def\bfm#1{{\dimen0=.01em\dimen1=.009em\makebold{$#1$}}}

\def\makebold#1{\mathord{\setbox0=\hbox{#1}
       \copy0\kern-\wd0
       \raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       {\advance\dimen1 by \dimen1\raise\dimen1\copy0}\kern-\wd0
       \kern\dimen0\raise\dimen1\copy0\kern-\wd0
       \kern\dimen0\box0}}
%okolja
\newtheorem{primer}{Primer}

\author{Emil {\v Z}agar}
\title{Prevajanje toplote po tanki palici}
\date{\today}

\begin{document}
  \maketitle
  \begin{abstract}
     V sestavku obravnavamo prevajanje toplote v tanki palici,
     torej enodimenzionalnem objektu dol"zine $L$. Ena"cbo prevajanja
     toplote prevedemo v brezdimenzionalno obliko in opi"semo nekaj znanih
     metod za numeri"cno re"sevanje (eksplicitna, implicitna, 
     Crank-Nicholsonova). Teorijo podkrepimo s prakti"cnim primerom,
     v katerem numeri"cno izra"cunamo porazdelitev toplote v jekleni
     palici ob izbranem "casu.
  \end{abstract}

  Ogledali si bomo naslednji problem: Tanka palica dol"zine $L$ ima
  po celi dol"zini za"cetno temperaturo $T_0$. Konca palice
  vzdr"zujemo na temperaturah $T_0$ (levi konec) in $T_1$ (desni konec).
  Pri tem privzamemo, da je $T_0<T_1$ in je palica dovolj tanka, da jo
  lahko obravnavamo kot enodimenzionalni objekt.
  \input{slika1} 
  Jasno je, da se bo toplota "sirila od toplej"sega konca proti
  hladnej"semu, zato bo temperatura nara"s"cala v obratni smeri.
  Lahko pri"cakujemo, da se bo po dolo"cenem "casu temperatura v palici 
  porazdelila v neko stabilno stanje.

  Naj bo $U(x,t)$ temperatura palice na oddaljenosti $x$ od levega roba 
  palice (glejte sliko \ref{slika1}) ob "casu $t$. Zaradi kraj"se pisave
  bomo v"casih pisali tudi $U:=U(x,t)$. Za porazdelitev temperature
  v palici velja ena"cba
  \begin{equation}
    \label{enacbaU}
    \frac{\partial{U}}{\partial{t}}=\kappa\,
    \frac{\partial^2{U}}{\partial{x^2}}
  \end{equation}
  ter robni in za"cetni pogoji
  $U(0,t)=T_0$, $U(L,t)=T_1$ in $U(x,0)=T_0$.
  Konstanta $\kappa$ se izra"za kot $\kappa=k/(\rho\,c)$, kjer je
  $\rho$ gostota, $c$ specifi"cna toplota in $k$ prevodnost palice.
  Nekaj vrednosti za te konstante je v tabeli \ref{tabela1}.
  \begin{table}
  \begin{center}
  \begin{tabular}{|l|c|c|c|}
    \hline
    Snov & $\rho$ $[kg/m^3]$ & $c$ $[kJ/kg\,^\circ C]$ &
    $k$ $[W/m\,^\circ C]$\\ \hline
    aluminij & 2707 & 0.896 & 204\\ \hline
    "zelezo  & 7897 & 0.452 & 73 \\ \hline
    jeklo    & 7833 & 0.465 & 54 \\ \hline
    baker    & 8954 & 0.383 & 386 \\ \hline
    opeka    & 1600 & 0.84  & 0.69 \\ \hline
    voda     & 999.8& 4.225 & 0.566 \\ \hline
  \end{tabular}
  \caption{Tabela konstant za nekatere materiale.}
  \label{tabela1}
  \end{center}
  \end{table}
  Ena"cbo (\ref{enacbaU}) lahko skaliramo v
  $$U(x,t)=T_0+(T_1-T_0)u(\xi,\tau),$$
  kjer je $x=L\,\xi$ in $t=(L^2/\kappa)\tau$.
  Tako dobimo nove ena"cbe za brezdimenzijsko funkcijo $u$, 
  in sicer:
  \begin{equation}
    \label{enacbau}
    \frac{\partial{u}}{\partial{\tau}}=
    \frac{\partial^2{u}}{\partial{\xi^2}},
  \end{equation}
  z robnimi in za"cetnimi pogoji
  $u(0,\tau)=0$, $u(1,\tau)=1$ ter $u(\xi,0)=0$.
  Torej je dovolj, "ce znamo (numeri"cno) re"siti ena"cbo
  (\ref{enacbau}). 

  Re"sujemo jo z metodo kon"cnih diferenc. 
  "Casovni odvod aproksimiramo s prvo premo diferenco s korakom
  $\Delta\tau$,
  krajevnega pa z drugo centralno diferenco s korakom 
  $\Delta\xi$:
  \begin{align*}
    \frac{\partial{u}}{\partial{\tau}}(\xi,\tau)&\approx
    \frac{u(\xi,\tau+\Delta\tau)-u(\xi,\tau)}{\Delta\tau},\\
    \frac{\partial^2{u}}{\partial{\xi^2}}(\tau,\xi)&\approx
    \frac{u(\xi+\Delta\xi,\tau)-2u(\xi,\tau)+u(\xi-\Delta\xi,\tau)}
         {(\Delta\xi)^2}.
  \end{align*}
  Ozna"cimo $\lambda=\frac{\Delta\tau}{(\Delta\xi)^2}$, zanemarimo napako
  in prej"snja izraza vstavimo v ena"cbo (\ref{enacbau}).
  Vrednosti na novem "casovnem nivoju so
  $$ u(\xi,\tau+\Delta\tau)=\lambda\,u(\xi+\Delta\xi,\tau)+
  (1-2\lambda)u(\xi,\tau)+
  \lambda\,u(\xi-\Delta\xi,\tau).
  $$
  Opisani metodi re"cemo eksplicitna metoda, saj se vrednosti na novem
  "casov\-nem nivoju ra"cunajo neposredno iz vrednosti na prej"snjem.
  Metoda je eno\-stavna, vendar ima to pomanjkljivost, da
  konvergira le za $\lambda<1/2$ (optimalno $\lambda=1/6$).
  To pomeni, da mora biti "casovni korak zelo majhen.

  Prakti"cno metodo uporabimo takole: Interval $[0,1]$
  ekvidistantno (ali kako druga"ce) razdelimo s to"ckami
  $0=\xi_0<\xi_1<\dots<\xi_{n}<\xi_{n+1}=1$.
  Torej je $\Delta\xi=\frac{1}{n+1}$, $\Delta\tau$ pa izberemo tako, da je
  $\lambda=\frac{\Delta\tau}{(\Delta\xi)^2}<\frac{1}{2}$.
  "Ce je $u_{i,j}=u(\xi_i,\tau_j)$, pri "cemer je
  $0=\tau_0<\tau_1<\tau_2<\dots$ ustrezna "casovna razdelitev, potem se
  eksplicitna metoda zapi"se (glejte sliko \ref{slika2}):
  $$u_{i,j+1}=\lambda\,u_{i-1,j}+(1-2\lambda)u_{i,j}+
  \lambda\,u_{i+1,j},\quad i=1,2,\dots,n.$$
  \input{slika2}
  
Pri $\tau_0=0$ je zaradi za"cetnega pogoja $u_{i,0}=0$,
  na robu $\xi_0=0$ in $\xi_{n+1}=1$ pa zaradi robnih pogojev
  $u_{0,j}=0$ in $u_{n+1,j}=1$.\\
Zelo podobno uporabimo implicitno shemo (glejte sliko \ref{slika3}).
Pri tej shemi moramo vrednosti na novem nivoju ra"cunati kot re"sitev
tridiagonalnega sistema ena"cb
$$-\lambda\,u_{i-1,j+1}+(1+2\lambda)\,u_{i,j+1}-
\lambda\,u_{i+1,j+1}=u_{i,j},\quad i=1,2,\dots,n.$$
Njena prednost pa je, da konvergira za vsak $\lambda$.
\input{slika3}

Obstaja "se tretja, Crank-Nicholsonova metoda (glejet sliko \ref{slika4}). 
Gre za kombinacijo
eksplicitne in implicitne sheme. Spet moramo vrednosti na novem nivoju
ra"cunati kot re"sitev tridiagonalnega sistema 
\begin{align*}-\lambda\,u_{i-1,j+1}+2(1+\lambda)\,u_{i,j+1}-
\lambda\,u_{i+1,j+1}=&\lambda\,u_{i-1,j}+2(1-\lambda)\,u_{i,j}+
\lambda\,u_{i+1,j},\\
&i=1,2,\dots,n.
\end{align*}
Prednost te metode je, da je napaka reda ${\cal O}((\Delta\tau)^2+
(\Delta\xi)^2)$.
\input{slika4}


\begin{primer}
Izra"cunati "zelimo porazdelitev temperature v $0.5$ metra dolgi
jekleni palici, ki ima na levem robu stalno temperaturo $20^\circ$C, na 
desnem pa $100^\circ$C.
Graf porazdelitve temperature na "casovnem intervalu med
$0$ in $5$ minut prikazuje slika \ref{jeklo1}. 
Graf porazdelitve temperature
v palici po dveh minutah  pa \ref{jeklo2}.
\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.75]{jeklo1.eps}
  \caption{Slika porazelitve temperature v jekleni palici.}
  \label{jeklo1}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.75]{jeklo2.eps}
  \caption{Slika porazelitve temperature v jekleni palici po dveh dveh 
  minutah.}
  \label{jeklo2}
  \end{center}
\end{figure}
\end{primer}

\begin{thebibliography}{99}
   \bibitem{Fowkes-Mahony}
   N. D. Fowkes in J. J. Mahony, {\sl An Introduction to Mathematical Modelling}, John Wiley 
   \& Sons, New York, 1996.
\end{thebibliography}
 

\end{document}