\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{amsfonts,graphicx}
%\addtolength{\textheight}{2truecm}
%\addtolength{\voffset}{-2truecm}
%\addtolength{\textwidth}{2truecm}
%\addtolength{\hoffset}{-1truecm}
%
% Mno"zice realnih, naravnih in kompleksnih "stevil
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\begin{document}
Velikokrat re"sujemo za"cetni problem za sistem navadnih diferencialnih ena"cb
prvega reda:
\begin{eqnarray*}
y_1'(t)&=&f_1(t,y_1,\ldots, y_n)\\
y_2'(t)&=&f_2(t,y_1,\ldots, y_n)\\
&&\cdots\\
y_n'(t)&=&f_n(t,y_1,\ldots, y_n)
\end{eqnarray*}
z za"cetnim pogojem
\begin{eqnarray*}
y_1(t_0)&=&y_1\\
y_2(t_0)&=&y_2\\
\cdots\\
y_n(t_0)&=&y_n
\end{eqnarray*}

Numeri"cne metode, ki jih uporabimo za re"sevanje sistemov, so prakti"cno enake
kot za eno samo ena"cbo. Paziti moramo le, da uporabljamo vektorske koli"cine. 
Poglejmo si, kako Eulerjevo metodo priredimo za sisteme ena"cb. 
Na intervalu, na katerem "zelimo poiskati re"sitev, izberemo delilne to"cke 
$$t_0,t_1=t_0+h_0,t_2=t_1+h_1,\ldots,t_n=t_{n-1}+h_{n-1},$$
ki so ponavadi razporejene enakomerno. Pribli"zke za vrednosti re"sitve $\textbf{y}_k=\textbf{y}(t_k)$  v delilnih to"ckah izra"cunamo z zaporedjem
\begin{eqnarray*}
\textbf{y}(t_0)&=&\textbf{y}_0\\
\textbf{y}_{k+1}&=&\textbf{y}_k+h_k*\textbf{f}(t_k,\textbf{y}_k),
\end{eqnarray*}
kjer je $\textbf{y}_k\in\RR^n$ vektor s komponentami 
$(y_1(t_k),y_2(t_k),\ldots,y_n(t_k))$, 
funkcija $\textbf{f}:\RR\times\RR^n\to\RR^n$ pa vektorska funkcija sestavljena iz 
desnih strani ena"cb 
$$\textbf{f}(t,\textbf{y})=(f_1(t,y_1,\ldots,y_n),\ldots,f_n(t,y_1,\ldots,y_n)).$$

\textbf{Primer:} Naj bo zajec v koordinatnem izhodi"s"cu, 
pes pa v tocki $(0,y_0)$. V trenutku $t_0=0$ za"cne zajec be"zati 
vzdol"z $x$ osi. V istem trenutku se pes za"zene za njim in mu za"cne slediti 
(v vsakem trenutku te"ce pes v smeri proti zajcu). 
Poi"s"ci krivuljo, po kateri te"ce pes, "ce predpostavimo, da sta hitrosti psa 
in zajca konstantni.

\textbf{Re"sitev:}
\begin{figure}
\includegraphics{zajec.eps}
\end{figure}
Naj bo $C=\{(x(t),y(t));\quad t\in \RR_+\}$ krivulja, ki jo opi"se pes. 
Ker je hitrost psa konstantna je 
$$\dot x(t)^2+\dot y(t)^2=d^2.$$
Poleg tega tangenta na $C$ vedno ka"ze v smeri zveznice med psom $(x(t),y(t))$ 
in zajcem $(ct,0)$. To pomeni, da je
$$\frac{\dot x(t)}{\dot y(t)}=\frac{ct-x(t)}{0-y(t)}.$$
"Ce ozna"cimo z $\textbf{x}(t)=(x(t),y(t))$ in $\textbf{F}(t,\textbf{x}(t))=[ct-x(t),-y(t)]^T$ dobimo ena"cbo
$$\dot\textbf{x}(t)=d\frac{F(t,\textbf{x})}{||F(t,\textbf{x})||_2}.$$
Iskana krivulja bo re"sitev za"cetnega problema za zgornjo ena"cbo in 
za"cetni pogoj $\textbf{x}(0)=[0,y_0]^T$. 
\begin{figure}
\includegraphics[scale=1.2]{resitev.eps}
\caption{
Numeri"cna re"sitev za"cetnega problema za vrednosti $c=d=1$ ter $y_0=-2$ na intervalu $t\in[0,6]$ s konstantnim korakom $h=0.1$.}
\end{figure}
\end{document}
