Nelinearne enačbe

Emil Žagar

5. oktober 2004

Rešujemo enačbo

e^{−x} − x = 0.

Za numerično reševanje jo najprej preoblikujemo v

e^{−x} = x.  (1)

Slika 1: Grafa funkcij iz enačbe (1).

Na sliki 1 lahko razberemo, da je rešitev enačbe (1) nekje med 0 in 1. Kaj več o takih in podobnih problemih pa si lahko preberete v [1] in [2].

Enačbo (1) bomo rešili z metodo navadne iteracije. Znano je, da zaporedje približkov {x_{r}}_{r=0}^{∞}, kjer je

x_{r+1} = e^{−x_{r}}, x_{0} = 0.57,

konvergira proti rešitvi enačbe (1). Zapišimo nekaj prvih približkov v tabelo.

\begin{matrix}r & x_{r} \\ 0 & 0.5700 \\ 1 & 0.5655 \\ 2 & 0.5680 \\ 3 & 0.5666 \\ 4 & 0.5674 \end{matrix}

Tabela 1: Tabela začetnih približkov rešitve enačbe (1).

Iz tabele 1 je razvidno, da je rešitev blizu števila 0.5670.

Literatura

[1] M. S. Berger. Nonlinearity and Functional Analysis. Academic Press, New York, 1977.

[2] Z. Bohte. Numerično reševanje enačb. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1974.