\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\mmZak#1{Literatura: E. Zakraj\v{s}ek, 
{\sl Matemati\v{c}no modeliranje}, skripta, 2002, naloga #1}
\def\mmlit#1#2{Literatura:{\sl\ Mathematical Modelling: 
Classroom Notes in Applied
  Mathematics}, SIAM, Philadelphia, 1987, str. #1--#2 
  (strani si lahko prekopirate pri asistentu \v{Z}agarju).}

\begin{document}

\begin{enumerate}
\item[{\bf 2. naloge}]
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Sestavite program, ki izpi"se prvih $n$ pra"stevil.
Nato nari"site graf, ki predstavlja, koliko pra"stevil se pojavi do
naravnega "stevila $m$. Graf primerjajte z asimptoti"cno formulo, ki
pravi, da je do "stevila $m$
$$\pi(m)\approx\frac{m}{\ln{m}}$$
pra"stevil.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Izra"cunajte "stevilo ni"cel na koncu "stevila $n!$.
Nari"site graf, ki predstavlja "stevilo ni"cel na koncu $n!$ v odvisnosti od
$n$.
%nova 
\item[{\bf Naloga}:] Naj bo 
$$S_N=\sqrt{16\,\sum_{n=1}^N\frac{1}{(2\,n-1)^2(2\,n+1)^2}+8}.$$
Napi"site program, ki nari"se to"cke $(i,S_i)$, $i=1,2,\dots,k$.
Na isti graf nari"site "se $(i,\pi-S_i)$. Program naj vrne tisti $i$,
pri katerem je $|\pi-S_i|<10^{-8}$.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Sestavite program, ki za dano naravno "stevilo $n$ naredi
 naslednje: "ce je $n$ ve"cji od 1 in je $n$ sod, $n$ zamenja z $n/2$, 
sicer pa ga zamenja s $3n+1$. Ko je $n=1$, naj se program ustavi. 
Tako dobimo zaporedje "stevil, ki se za"cne z $n$ in (verjetno) kon"ca z 1.
Sestavite program, ki vrne dol"zino zaporedja "stevil za dani $n$ 
in preglejte zaporedje dol"zin za $n=1,2,...,1000$. Nari"site 
graf dol"zine zaporedja v odvisnosti od "stevila.
Ali obstaja "stevilo, za katerega se zaporedje ne kon"ca v 1?
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Sestavite program za pretvorbo rimskih "stevil v decimalni zapis in obratno.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Nari"site pot naklju"cnega sprehajalca, ki se 
sprehaja na intervalu $[-B,B]$ po naslednjem pravilu:
$x_{j+1}=x_j+s$, kjer $x_j$ ozna"cuje polo"zaj sprehajalca, 
$s$ pa je naklju"cni pomik iz intervala $[-1,1]$.
"Ce sprehajalec pride do roba intervala, se vrne v nasprotno smer za toliko, 
za kolikor bi prekora"cil mejo. Graf naj predstavlja odmik sprehajalca od
to"cke $0$ v odvisnosti od koraka $j$.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki izra"cuna sredi"s"ce in radij 
trikotniku v"crtanega kroga. Program naj izri"se tudi sliko trikotnika, kroga in 
sredi"s"ca.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] "Cebi"sevi polinomi so definirani rekurzivno takole
\begin{eqnarray*}
  T_0(x) &=& 1,\\
  T_1(x) &=& x,\\
  T_{n+1}(x) &=& 2\,x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),\quad n\geq 1.
\end{eqnarray*}
Napi"site program, ki za dano naravno "stevilo $n$ vrne seznam koeficientov
"Cebi"sevega polinoma stopnje $n$. Program {\bf ne sme} biti rekurziven.
Nari"site tudi graf tega polinoma.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Hermiteovi polinomi so definirani rekurzivno takole
\begin{eqnarray*}
  H_0(x) &=& 1,\\
  H_1(x) &=& 2\,x,\\
  H_{n+1}(x) &=& 2\,x\,H_n(x)-2\,n\,H_{n-1}(x),\quad n\geq 1.
\end{eqnarray*}
Napi"site program, ki za dano naravno "stevilo $n$ vrne seznam koeficientov
Hermiteovega polinoma stopnje $n$. Program {\bf ne sme} biti rekurziven.
Nari"site tudi graf tega polinoma.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Legendreovi polinomi so definirani rekurzivno takole
\begin{eqnarray*}
  L_0(x) &=& 1,\\
  L_1(x) &=& x,\\
  (n+1)\,L_{n+1}(x) &=& (2\,n+1)\,x\,L_n(x)-n\,L_{n-1}(x),\quad n\geq 1.
\end{eqnarray*}
Napi"site program, ki za dano naravno "stevilo $n$ vrne seznam koeficientov
Legendreovega polinoma stopnje $n$. Program {\bf ne sme} biti rekurziven.
Nari"site tudi graf tega polinoma.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Laguerreovi polinomi so definirani rekurzivno takole
\begin{eqnarray*}
  L_0(x) &=& 1,\\
  L_1(x) &=& 1-x,\\
  (n+1)\,L_{n+1}(x) &=& (2\,n+1-x)\,L_n(x)-n\,L_{n-1}(x),\quad n\geq 1.
\end{eqnarray*}
Napi"site program, ki za dano naravno "stevilo $n$ vrne seznam koeficientov
Laguerreovega polinoma stopnje $n$. Program {\bf ne sme} biti rekurziven.
Nari"site tudi graf tega polinoma.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki vrne vsoto ve"c danih ulomkov. 
Rezultat naj bo
okraj"san, kolikor se da.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki naravno "stevilo, predstavljeno v 
poljubnem "stevilskem
sestavu z osnovo med $2$ in $10$ pretvori v poljubno drugo osnovo med
$2$ in $10$.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki izra"cuna "stevilo dni med 
(vklju"cno) dvema datumoma. Datuma sta lahko v obsegu 1.1.1900 do 31.3.2003.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki izra"cuna plo"s"cino 
konveksnega mnogokotnika v ravnini in
mnogokotnik tudi nari"se. Mnogokotnik je podan s koordinatami zaporedoma 
urejenih ogli"s"c.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki preveri ali dana to"cka v ravnini 
le"zi zunaj ali znotraj ravninskega konveksnega mnogokotnika. 
Mnogokotnik je podan s koordinatami zaporedoma urejenih ogli"s"c. 
Nari"site mnogokotnik in to"cko na isto sliko.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki poi"s"ce vsa perfektna "stevila 
do naravnega "stevila $n$. Naravno "stevilo $k$ je prefektno, "ce je enako vsoti
svojih pravih deliteljev (pravi delitelji "stevila 8 so 1,2,4 in 
{\bf ne} 8).
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki ra"cuna vrednosti 
funkcije $\varphi:\NN\to\NN$,
kjer $\varphi(n)$ pomeni "stevilu $n$ tujih "stevil med $1$ in $n$.
Nari"site tudi graf te funkcije.  
%nova 
\item[{\bf Naloga}:] Napi"site program, ki se"steje 
$k$ binarnih "stevil in vrne binarni ter decimalni rezultat. 
"Stevil med se"stevanjem ni dovoljeno pretvarjati
v kak"sno drugo osnovo.
%nova
\item[{\bf Naloga}:] Sestavite program, ki za dane kontrolne to"cke 
$\mathbf{b}_0 , \mathbf{b}_1,..., \mathbf{b}_n \in \RR ^3$ 
preko deCasteljauovega algoritma nari"se B\'ezierovo krivuljo.

\noindent
\bf De Casteljauov algoritem \rm \it \\
Podane so to"cke $\mathbf{b}_0 , \mathbf{b}_1,..., \mathbf{b}_n \in \RR ^3$ 
in vrednost parametra $t\in [0,1]$, \\
izra"cunajte:
$$\mathbf{b}_i^r(t)=(1-t) \mathbf{b}_i^{r-1}(t)+t \mathbf{b}_{i+1}^{r-1}(t), 
\; \; \; \; \; \; \;   
{ {r=1,2,...,n  \; ;} \atop { i=0,1,...,n-r}} \; \; ,  $$
kjer je $\mathbf{b}_i^0(t)=\mathbf{b}_i$. \\
Potem je $\mathbf{b}_0^n(t)$ to"cka na B\'ezierovi krivulji 
$\mathbf{b}^n$ pri vrednosti parametra $t$. \rm \\

%nova
\item[\bf {3. naloge}]

%nova

\item Analizirajte kaoti"cno obna"sanje Newtonove metode za iskanje 
ni"cel ena"cbe $z^4+z^3+z-1=0$. Pobarvajte to"cke 
glede na hitrost konvergence k dolo"cenemu korenu in nari"site 
pripadajo"co sliko. \\
Literatura: astronomy.swin.edu.au/$\sim$pbourke/fractals/newtonraphson 
%nova
\item Analizirajte kaoti"cno obna"sanje Newtonove metode za iskanje 
ni"cel ena"cbe $z^3+2z^2+z+3=0$. Pobarvajte to"cke 
glede na hitrost konvergence k dolo"cenemu korenu in nari"site 
pripadajo"co sliko. \\
Literatura: astronomy.swin.edu.au/$\sim$pbourke/fractals/newtonraphson 
%nova
\item Analizirajte kaoti"cno obna"sanje Newtonove metode za iskanje 
ni"cel ena"cbe $-2z^4+z^3+z^2-2z-1=0$. Pobarvajte to"cke 
glede na hitrost konvergence k dolo"cenemu korenu in nari"site 
pripadajo"co sliko. \\
Literatura: astronomy.swin.edu.au/$\sim$pbourke/fractals/newtonraphson
%nova
\item Analizirajte in re"site simetri"cno diskretno veri"znico s 
sodim "stevilom palic. \mmZak{3.1}
%nova
\item Analizirajte in re"site simetri"cno diskretno veri"znico z 
lihim "stevilom "clenov. \mmZak{3.2}
%nova
\item Analizirajte diskretno veri"znico, ki je na levem kraji"s"cu 
normalno pritrjena, na desnem kraji"s"cu pa je privezana na nitko,
ki je speljana "cez "skripec, na drugem koncu nitke pa je obe"sena 
ute"z z maso $m$. \mmZak{3.4}
%nova 
\item Problem kocke v milnici. Izra"cunajte stranico malega kvadrata 
iz zahteve, da je povr"sina minimalna. Sestavite program, ki nari"se 
skico milnice na skeletu kocke. \mmZak{3.5}
%nova
\item Izra"cunajte ravnote"zni polo"zaj dveh masnih to"ck z nabojema 
$e_1,e_2$, kjer se to"cki lahko pomikata po vertikalni premici
nad izhodi"s"cem $x=0$, kjer je pritrjen to"ckast naboj $e_0$. 
\mmZak{3.9}
%nova
\item Re"site problem diskretne veri"znice z uporabo metode zveznega 
nadaljevanja. \mmZak{3.7} 
%nova
\item Poi"s"cite tisto krivuljo med dvema danima to"ckama, 
po kateri je razdalja najkraj"sa v modelu
neevklidske geometrije, kjer je dol"zina krivulje 
$$l(y)=\int_a^b {\sqrt{1+y'^2} \over x}\, dx.$$\\
Literatura: E. Zakraj"sek {\sl Analiza III}, DMFA, 2000, str. 169-186.
%nova
\item Re"site problem kraljice Dido. Re"sitev tudi nari"site. \\
Literatura: E. Zakraj"sek {\sl Analiza III}, DMFA, 2000, 
str. 116, 169-186
in http://www.mapleapps.com/powertools/engineeringmath/html \\
/Section\%2047-02.html
%nova
\item Testirajte naslednje generatorje naklju"cnih "stevil:
Matlabov rand, li\-nearne kongruen"cne generatorje s parametri: 
$$a=3141592653,\quad c=27128129,\quad m=2^{35},\quad X_0=0$$ 
in 
$$a=5,\quad c=3,\quad m=16,\quad X_0=0$$
ter Fibonaccijev generator za $M=2^{31}$ s frekven"cnim testom.
Linearni kongruen"cni generator naklju"cnih "stevil je oblike 
$$X_{n+1}=(a X_n +c) \; \mbox{mod}\; m.$$
Fibonaccijev generator pa
$$X_n=X_{n-1}+X_{n-2} \; \mbox{mod} \; M,$$ 
kjer sta $X_0,X_1$ izbrani za"cetni vrednosti.\\
Literatura: D.E. Knuth, {\sl The art of computer programming, 
Vol.2: Seminumerical algorithms},
3rd ed., Addison-Wesley, 1997, str. 10, 61--65.
%nova
\item Testirajte naslednje generatorje naklju"cnih "stevil:
Matlabov rand, li\-nearne kongruen"cne generatorje s parametri: 
$$a=3141592653,\quad c=27128129,\quad m=2^{35},\quad X_0=0$$ 
in 
$$a=5,\quad c=3,\quad m=16,\quad X_0=0$$ 
ter Fibonaccijev generator za $M=2^{31}$ s 
serijskim testom za pare (serial test).
Linearni kongruen"cni generator naklju"cnih "stevil je oblike 
$$X_{n+1}=(a X_n +c) \; \mbox{mod}\; m.$$
Fibonaccijev generator pa 
$$X_n=X_{n-1}+X_{n-2} \; 
\mbox{mod} \; M,$$
kjer sta $X_0,X_1$ izbrani za"cetni vrednosti.\\
Literatura: D.E. Knuth, {\sl The art of computer programming, 
Vol.2: Seminumerical algorithms},
3rd ed., Addison-Wesley, 1997, str. 10, 61--65.
%nova
\item Testirajte naslednje generatorje naklju"cnih "stevil:
Matlabov rand, li\-nearne kongruen"cne generatorje s parametri: 
$$a=3141592653,\quad c=27128129,\quad m=2^{35},\quad X_0=0$$ in 
$$a=5,\quad c=3,\quad m=16,\quad X_0=0$$
ter Fibonaccijev generator za $M=2^{31}$ s serijskim testom za 
trojice (serial test).
Linearni kongruen"cni generator naklju"cnih "stevil je oblike 
$$X_{n+1}=(a X_n +c) \; \mbox{mod}\; m.$$
Fibonaccijev generator pa 
$$X_n=X_{n-1}+X_{n-2} \; 
\mbox{mod} \; M,$$
kjer sta $X_0,X_1$ izbrani za"cetni vrednosti. \\
Literatura: D.E. Knuth, {\sl The art of computer programming, 
Vol.2: Seminumerical algorithms},
3rd ed., Addison-Wesley, 1997, str. 10, 61--65.
%nova
\item Testirajte naslednje generatorje naklju"cnih "stevil:
Matlabov rand, li\-nearne kongruen"cne generatorje s parametri: 
$$a=3141592653,\quad c=27128129,\quad m=2^{35},\quad X_0=0$$ 
in 
$$a=5,\quad c=3,\quad m=16,\quad X_0=0$$
ter Fibonaccijev generator za $M=2^{31}$ s poker testom.
Linearni kongruen"cni generator naklju"cnih "stevil je oblike 
$$X_{n+1}=(a X_n +c) \; \mbox{mod} \; m.$$
Fibonaccijev generator pa 
$$X_n=X_{n-1}+X_{n-2} \; 
\mbox{mod} \; M,$$
kjer sta $X_0,X_1$ izbrani za"cetni vrednosti.\\
Literatura: D.E. Knuth, {\sl The art of computer programming, 
Vol.2: Seminumerical algorithms},
3rd ed., Addison-Wesley, 1997, str. 10, 61--65.
%nova
\item Testirajte naslednje generatorje naklju"cnih "stevil:
Matlabov rand, linearne kongruen"cne generatorje s parametri: 
$$a=3141592653,\quad c=27128129,\quad m=2^{35},\quad X_0=0$$ 
in 
$$a=5,\quad c=3,\quad m=16,\quad X_0=0$$
ter Fibonaccijev generator za $M=2^{31}$ s testom zbiranja sli"cic.
Linearni kongruen"cni generator naklju"cnih "stevil je oblike 
$$X_{n+1}=(a X_n +c) \; \mbox{mod} \; m.$$
Fibonaccijev generator pa
$$X_n=X_{n-1}+X_{n-2} \; 
\mbox{mod} \; M,$$
kjer sta $X_0,X_1$ izbrani za"cetni vrednosti. \\
Literatura: D.E. Knuth, {\sl The art of computer programming, 
Vol.2: Seminumerical algorithms},
3rd ed., Addison-Wesley, 1997, str. 10, 61--65.
%nova
\item Napi"site program, ki simulira igro "zivljenja. 
Simulacija naj vsebuje grafi"cni prikaz.\\
Literatura: http://www.math.com/students/wonders/life/life.html
%nova
\item Izra"cunajte "stevilo $\pi$ s pomo"cjo Buffonove igle in 
Buffonovega kri"za. Simulacijo tudi grafi"cno prika"zite.\\
Literatura: G. Grimmett, {\sl Probability and random processes}, 
2nd ed., Oxford university press, 1992, str. 271, 99-103.
%nova
\item Napi"site program, ki interpolira nekaj ravninskih to"ck s
  $C^2$ zveznimi kubi"cnimi zlepki. Nari"site tudi graf zlepka.\\
Literatura: J. Petri"si"c: 
  {\sl Interpolacija in osnove ra"cu\-nalni"ske grafike}, 
Univerza v Ljubljani,
Fakulteta za strojni"stvo, 1999, str. 47--51 ali pa novej"si
matemati"cni priro"cnik.
%nova 
\item Poi"s"cite prvih deset ni"cel re"sitve diferencialne ena"cbe
  $$y''(x)+\frac{1}{x}\,y'(x)+y(x)=0,\quad y(0)=1,\ y'(0)=0.$$
  Za iskanje ni"cel uporabite tangentno (Newtonovo) metodo.
  Za"cetne pribli"zke dolo"cite s pomo"cjo grafa funkcije $y$.
  Vrednosti funkcije in njenih odvodov dobite z numeri"cnim
  re"sevanjem diferencialne ena"cbe.
%nova
\item Izra"cunajte in grafi"cno prika"zite gibanje sredi"s"ca
  zadnje osi avtobusa, "ce se sredi"s"ce sprednje osi giblje po
  premici pod nekim kotom glede na za"cetni polo"zaj osi. 
 \mmlit{23}{29}
%nova
\item Izra"cunajte in grafi"cno prika"zite gibanje sredi"s"ca
  zadnje osi avtobusa, "ce se sredi"s"ce sprednje osi giblje po
  kro"znici, katere polmer je ve"cji kot dol"zina avtobusa. 
 \mmlit{23}{29} 
%nova
\item Izra"cunajte in grafi"cno prika"zite gibanje enoosne 
  prikolice pri avtomobilu.\mmlit{18}{22}
%nova
\item Nari"site najdalj"so sklenjeno krivuljo, ki jo opi"se plavalec 
v reki s tokom v predpisanem "casu. \mmlit{44}{46}
%nova 
\item Nari"site optimalno obliko prereza elasti"cne jeklenice, 
"ce nanjo obesimo dolo"ceno maso. \mmlit{52}{54}
%nova 
\item Primerjajte re"sitev zveznega in diskretnega problema
  veri"znice. Vrv dol"zine $l$ razdelite na $n$ enakih delov in vsak
  del obravnavajte kot togi "clenek. Razdaljo med zvezno veri"znico
  in togim "clenkom izra"cunajte tako, da izra"cunate razdaljo med
  to"cko na "clenku in prese"ci"s"cem pravokotnice skozi to 
  to"cko ter zvezno veri"znico. Za posamezni "clenek izra"cunajte to
  razdaljo za nekaj (10, 100,...) to"ck in poi"s"cite najprej 
  maksimum na posameznem "clenku, potem pa "se maksimum na celi 
  diskretni veri"znici.
%nova 
\item Izra"cunajte limitno hitrost padalca v zraku, preden odpre 
  padalo. Upo\-"stevajte kvadratni zakon upora 
  (vrtince zraka pri obtekanju zanemarite), padalca pa obravnavajte
  kot pravokotno plo"s"co. Problem prevedite na re"sevanje 
  diferencialne ena"cbe drugega reda. Potrebne podatke
  poi"s"cite v fizikalnih priro"cnikih. Primerjajte analiti"cno in
  numeri"cno re"sitev.\\
  Literatura: R. Kladnik, H. "Solinc: 
  {\sl Zbirka fizikalnih problemov z re"sitva\-mi, 1. del}, 
  DZS, 1984, str. 245
%nova
\item Nihanje nedu"senega nitnega nihala opisuje 
diferencialna ena"cba
$$\theta''(t)+\frac{g}{l}\,\sin(\theta(t))=0,$$
kjer je $\theta(t)$ odmik nihala od ravnovesne lege ob 
"casu $t$. Nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege za kot $\theta_0$
(merjeno v radianih seveda). Izra"cunajte "cas, ko nihalo drugi"c
dose"ze polovico svoje maksimalne hitrosti.
Diferencialno ena"cbo lahko re"sujete z ugrajenimi Matlabovimi
funkcijami. Pri iskanju polovi"cne maksimalne hitrosti 
uporabite Newtonovo metodo (vrednosti in odvode funkcije preberete
iz numeri"cne re"sitve diferencialne ena"cbe).


%nova

\item[{\bf Projekti}]

%nova
\item Izra"cunajte ravnote"zni polo"zaj sistema $n$ masnih to"ck z masami $m_i$ 
in naboji $e_i>0$, ki se lahko premikajo po vertikalni premici nad izhodi"s"cem 
$x_0$, kjer je pritrjen naboj $e_0$. Kot poseben primer obravnavajte situacijo, 
kjer so vse mase enake in vsi naboji enaki. 
\mmZak{3.10}. ("Zagar)

%nova

\item Sestavite model vise"cega mostu, kjer so z nosilnih vrvi v enakomernih 
presledkih obe"sene vrvi, ki nosijo vozi"s"ce. 
\mmZak{4.4} in datoteka \texttt{catenary.ps} na doma"ci strani predmeta.
(Jakli"c)

%nova

\item Sestavite model vise"cega mostu Golden Gate za realne podatke. \\
Literatura: \texttt{www.goldengate.org} in datoteka \texttt{catenary.ps} na
doma"ci strani predmeta. (Jakli"c) 

%nova

\item Sestavite model gondole na Krvavcu. Obravnavajte samo tisti del vrvi med
 dvema nosilnima stebroma, na katerem visijo 4 gondole. Gondole
so pritrjene na znanih razdaljah od spodnjega nosilnega stebra, 
merjeno vzdol"z nosilne vrvi. \\
\mmZak{4.6} in datoteka \texttt{catenary.ps} na doma"ci strani predmeta.
("Zagar)

%nova

\item Sestavite model "cakalnice na Urgenci v Klini"cnem centru.
Deluje ve"c ambulant, prihajajo po"skodovanci
z razli"cno nevarnimi po"skodbami. Bolnike moramo sprejemati glede na te"zo
njihovih po"skodb ("zivljensko ogro"zeni imajo absolutno prednost,...). Kako
naj administracija planira "stevilo de"zurnih zdravnikov, da bo "cakalna doba
"cimkraj"sa? Preskusite model s statisti"cno simulacijo.
\mmZak{5.7} in 
E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, N.Y., 
John Wiley and Sons, 1978, str. 106. (Jakli"c)

%nova

\item Sestavite model "cakalnice v zdravstvenem domu z naro"cenimi bolniki. 
Pri tem upo"stevajte sprejemanje
nujnih primerov preko vrste. Kako naj administracija optimizira "cakalno
dobo in hkrati poskrbi, da so zdravniki dovolj zaposleni? \\
\mmZak{5.7} in 
E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, N.Y., John Wiley 
and Sons, 1978, str. 106. (Jakli"c)

%nova

\item Napi"site program, ki re"si problem optimalnega razreza plo"s"c 
(2D "zagan\-je). \\
Literatura: E. Zakraj\v{s}ek, {\sl Matemati\v{c}no modeliranje}, skripta, 
2002, str. 167. ("Zagar)

%nova

\item Re"site problem 3 teles, oz. sestavite preprost model
solarnega sistema. \\
Literatura: W. R. Bennett,
Scientific and engineering problem-solving with the computer,
Prentice-Hall, New Yersey, 1976, str. 250, \\
"Zivljenje in tehnika, junij 2001, str. 5. ("Zagar)

%nova

\item Sestavite model dvojnega nihala ("ce grem tudi nihala iz treh delov,...).
Naloga zahteva grafi"cni prikaz,
obravnavajte tudi majhna nihanja okoli ravnovesne lege.
Literatura: H.J. Korsch, H. J. Jodl,
Chaos, a program collection for PC,
Springer, Berlin, 1999, str. 89-98. (Jakli"c)

%nova

\item Gravitacijski biljard. Kak"sni so mo"zni odboji, katere to"cke
lahko zadane "zogica?
Obravnavajte sistem za razli"cne smeri trka,
in razli"cne oblike odbojne povr"sine (V cev, ...).
Kaj pa v 3D? \\
Literatura: H.J. Korsch, H. J. Jodl,
Chaos, a program collection for PC,
Springer, Berlin, 1999, str. 67. (Jakli"c) 

%nova

\item Obravnavajte problem izstrelitve ve"cstopenjske rakete. 
Kako dolo"citi "stevilo in velikosti stopenj (vsak
del ima svoj motor in tako prinese dodatno te"zo) ? \\
Literatura: E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, 
N.Y., John Wiley and Sons, 1978, str. 78. (Jakli"c)

%nova

\item Stranke prihajajo v banko naklju"cno kot Poissonov proces in se postavijo 
v vrsto pred ban"cno okence.
Stranka "caka, da pride na vrsto, nato pa porabi nekaj (naklju"cno, konstantno)
"casa pred okencem. Sestavite simulacijo dogajanja. 
Kako naj banka organizira poslovanje, da bo "cakalna
doba "cimkraj"sa? Ali je bolj"sa ena sama vrsta za ve"c okenc, ali posamezne
vrste pred vsakim okencem? V katero vrsto se je dobro postaviti v slednjem
primeru? \\
Literatura: Grimmett, Stirzaker, Probability and random processes, Oxford, 
1987, str. 414-439. (Jakli"c)

%nova

\item Taksiji prihajajo na Pre"sernov trg kot Poissonov proces. 
Na trg prihajajo slu"cajno (spet kot
Poissonov proces, neodvisen od taksijev) tudi ljudje, ki potrebujejo
prevoz. Taksi se pripelje na trg: "ce ga "caka stranka, jo takoj odpelje,
sicer pa po"caka na stranko. Podobno je z ljudmi, stranka pride na
trg, "ce je na voljo prost taksi, se odpelje z njim, sicer se postavi v
vrsto. Simulirajte dogajanje in svetujte taksi podjetju, kako naj po"silja
na trg proste taksije. \\
Literatura: Grimmett, Stirzaker, Probability and random processes, 
Oxford, 1987, str. 414-439. (Jakli"c)

%nova

\item Modelirajte letalo, ki se izmika vodenemu izstrelku. \\
Literatura: A. Friedman,
Mathematics in Industrial Problems, Part 9, vol. 88,
Springer,N.Y., 1997, str. 72-83 in 
A. Biran, Matlab for engineers, Addison-Wesley, 1995, str. 524.
("Zagar)

%nova

\item Obravnavajte problem psa, ki lovi gospodarja. 
Oba naj se gibljeta s konstantnima hitrostima. 
Obravnavajte razli"cne primere trajektorije gibanja gospodarja,... 
(problem je ekvivalenten
problemu iskanja optimalne poti air-to-air rakete). \\
Mathematics in Industrial Problems, Part 9, vol. 88,
Springer,N.Y., 1997, str. 72-83 in
A. Biran, Matlab for engineers, Addison-Wesley, 1995, str. 524.
("Zagar)

%nova

\item Obravnavajte smu"carske
skoke, kako je dol"zina skoka odvisna od smeri in
to"cke odriva, oblike skakalnice,... \\
Literatura: R. B. Banks,
Towing Icebergs, Falling Dominoes, and other adventures in Applied mathematics,
Princeton, 1998, str. 243. (Jakli"c)

%nova

\item Pri igrah z "zogo (npr. tenisu) tekmovalec pogosto preseneti
nasprotnika z rezano "zogo. Modelirajte
spin v igrah z "zogo, obravnavajte trajektorije gibanja, mo"zne
odboje na razli"cnih podlagah,... \\
Literatura: W. R. Bennett,
Scientific and engineering problem-solving with the computer,
Prentice-Hall, New Yersey, 1976, str. 218. ("Zagar)

%nova

\item Modelirajte Plinijev vodnjak. Nari"site graf vi"sine vode v odvisnosti 
od "casa za razli"cne vhodne podatke.
Naloga zahteva tudi grafi"cni prikaz.\\
Literatura: A. Biran, Matlab for engineers, Addison-Wesley, 
1995, str. 520. (Jakli"c)

%nova

\item V sobi s kvadratnim tlorisom
so "stiri ma"cke, ki sedijo vsaka v svojem kotu. V nekem trenutku za"cnejo
loviti druga drugo, prva lovi drugo, druga tretjo, tretja "cetrto, in "cetrta
prvo. Obravnavajte trajektorije ma"ck za razli"cne primere, sobe razli"cnih
oblik, razli"cne hitrosti ma"ck, razli"cne za"cetne postavitve. \\
Literatura: A. Biran, Matlab for engineers, Addison-Wesley, 1995, 
str. 525. ("Zagar)

%nova

\item Simulirajte vo"znjo skozi kri"zi"s"ce Jamove in Langusove ceste za 
razli"cne primere prometnih ureditev.\\
\mmZak{5.8}. (Jakli"c)

%nova

\item Simulirajte obna"sanje dveh razli"cnih modelov dvigal in izmerite 
najve\-"cje, najmanj"se in povpre"cne "cakalne "case ter tako primerjajte 
dvigali.\\
\mmZak{5.9}. (Jakli"c)

%nova 

\item Izra"cunajte in grafi"cno prika"zite gibanje sredi"s"ca
  zadnje osi avtobusa, "ce se sredi"s"ce sprednje osi giblje po
  elipsi, ki ima obe polosi ve"cji kot je "sirina ali dol"zina avtobusa. 
 \mmlit{23}{29} ("Zagar) 

%nova 

\item Izra"cunajte in grafi"cno prika"zite gibanje sredi"s"ca
  zadnje osi avtobusa, "ce se sredi"s"ce sprednje osi giblje po
  paraboli. 
 \mmlit{23}{29} ("Zagar)

%nova 

\item Nari"site debelo krivuljo in njeno ogrinja"co. 
 Napi"site tudi program"cek, ki zna risati unijo debelih krivulj (torej ve"c
 debelih krivulj).\\
Literatura: L.M. Mestetskii, Fat curves and representation of planar figures,
Computer \& Graphics 24 (2000), 9-21 (kopijo "clanka dobite pri
asistentu "Zagarju). ("Zagar) 

%nova

\item Napi"site programe, ki skalirajo, rotirajo in premikajo objekte,
opisane z B\'{e}zierovimi krivuljami. Za primer vzemite neko "crko (
"crke so z B\'{e}zierovimi krivuljami opisane npr. v PostScriptu) in na njej
izvedite omenjene transformacije.\\
Literatura: G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design
(potrebna poglavja si lahko prekopirate pri asistentu "Zagarju) ali
kakr"snakoli druga literatura, ki se nana"sa na B\'{e}zierove krivulje.
("Zagar)
\end{enumerate}
\end{document}